Febbricola neonato 5 mesi

Buongiorno, mio figlio ha 5 mesi e 2 settimane fa, dato che sembrava un po insofferente durante il giorno, ho provato per curiositala temperatura ascellare con 2 differenti termometri digitali ed era 36.9.
Per sicurezza l'ho provata anche i giorni successivi ed ha sempre avuto qualche decimo di febbre... Di giorno dai 37 ai 37.3 e di sera massimo 37.5.
La pediatra ha effettuato due visite a distanza di una settimana riscontrando sempre la gola leggermente rossa e facendo esame urine risultato negativo entrambe le volte.
Mi ha quindi detto di iniziare con l'antibiotico per una settimana ma non sono affatto convinta in quanto mi sembra piu un tentativo che altro.
Avevo ipotizzato in realtà che fosse un problema di "eccesso di vestiti" in quanto io la febbre la provo al bambino vestito: la mattina della visita, a casa era 37, mentre dalla pediatra dopo 20 minuti che era nudo/solo con il body addosso era 36.3 (per quanto siano 2 termometri diversi una differenza di quasi un grado mi sembra eccessiva).
Per i due giorni successivi ho quindi provato a vestire in modo piu leggero il bambino e in effetti la temperatura è sempre rimasta entro i 36.9.
Stasera invece l'abbiamo misurata ed era 37.3.
Dato che comunque in questi mesi mi è capitato solo una volta di provare la febbre (dopo il primo vaccino) ed era 37.1, non so con certezza se mio figlio ha normalmente la temperatura attorno ai 37 o se effettivamente è solo alta in questo periodo, secondo voi è preferibile comunque iniziare una cura antbiotica di una settimana con questi pochi dati alla mano?
Quali sono i rischi se non effettuo la cura ed effettivamente c'e invece qualcosa che non va?
Inoltre, il bambino puo effettuare il richiamo del primo vaccino con questa presunta febbricola?
Sono un po confusa in quanto, se non avessi provato per curiosita la febbre due settimane fa, avremmo gia fatto il richiamo del vaccino dato che comunque il bambino sta bene, non ha tosse o raffreddore, mangia, dorme, ride, è vispo come sempre.
Grazie.